Yoğunluk, geometri, ve veri: Dünyanın modül uzayı (moduli space) nedir?

Dünyaya dair veriler, sıklıkla yüksek boyutlu uzaylarda yer alırlar. Ancak gerçekte karşılaşılan örnekler, tüm uzaya yayılmaktansa uzayın çok daha düşük boyutlu bir alt uzayında yoğunlaşma eğilimi gösterir.

Boyut indirgeme teknikleri, verinin düşük boyutlu temsillerini bulmayı amaçlar. Bu işlem genellikle veriye dair bazı nicelikleri korumaya çalışarak yapılır. Bu tür niceliklerin en bilineni, noktalar arasındaki uzaklık, yani metriktir.

Bu konuşmada boyut indirgeme problemine temel düzeyde bir giriş yaptıktan sonra, yoğunluk kavramını esas alan bir boyut indirgeme yöntemi önereceğiz. Diferansiyel geometrinin temel bir teoremini kullanarak bu yöntemin uygulanabilirliğini kanıtladıktan sonra, boyut indirgemede kullanmak için manifoldlara uygun bir yoğunluk kestirme tekniği tarif edeceğiz. Son olarak, bahsettiğimiz teorik fikirlerin pratik uygulamasını mümkün kılacak konveks bir optimizasyon yaklaşımını tartışacağız.

Konuşma, bahsi geçen konu başlıklarının hiçbirine dair alt yapısı olmayan matematik bölümü öğrencilerinin de faydalanabilmesini mümkün kılma amacı güdülerek hazırlanmıştır.